题目

已知二次函数f（x）＝ax∧2+bx+c（c＞0且为常数）的导函数的图象如图所示（就是过（0,1）和（-1/2,0）的直线） （1）求函数f（x）的解析式（用含c的式子表示） （2）另g（x）＝f（x）/x,求y＝g（x）在[1,2]上的最大值

提问时间：2020-11-18

答案

1)因为f（x）＝ax∧2+bx+c（c＞0且为常数）的导函数为f'(x)=2ax+b,所以这条直线过（0,1）和（-1/2,0）这两点,所以
b=1,a=1,所以f（x）＝x∧2+x+c
2)因为g（x）＝f（x）/x=x+c/x+1,为一个对勾函数,因为c＞0且为常数,
所以函数在（0,√c]上减,在[√c,﹢∞)上增,
所以要分类讨论,当c≦1时g（x）在[1,2]上增,所以最大值为g（2）=3+c/2,
当c≥4时所以g（x）在[1,2]上减,所以最大值为g（1）=2+c
当1＜c＜4时,g（x）在[1,√c]上减,在[√c,2]上增所以最大值为g（1）或g（2）
因为g（2）-g（1）=1-c/2,所以当它大于0时,c＜2,当它小于0时,2＜c
所以综上所述,g（x）的最大值①=3+c/2,c∈（0,2],②=2+c,c∈（2,﹢∞）