题目
设实数a、b、c成等比数列,非零实数x、y分别为a与b,b与c的等差中项,求证:
+
=2
a |
x |
c |
y |
提问时间:2020-11-18
答案
证明:因为a,b,c成等比数列
所以 b2=ac①
又x,y分别为a与b,b与c的等差中项
所以 2x=a+b,2y=b+c②
要证
+
=2
只要证 ay+cx=2xy
只要证 2ay+2cx=4xy
由①②得 2ay+2cx=a(b+c)+c(a+b)=ab+2ac+bc;
而4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc成立.
所以命题得证.
所以 b2=ac①
又x,y分别为a与b,b与c的等差中项
所以 2x=a+b,2y=b+c②
要证
a |
x |
c |
y |
只要证 ay+cx=2xy
只要证 2ay+2cx=4xy
由①②得 2ay+2cx=a(b+c)+c(a+b)=ab+2ac+bc;
而4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc成立.
所以命题得证.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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