题目

若α、β∈（π/2,π）,且tanα＜cotβ,则必有
则必有α+β＜3π/2,为什么?

提问时间：2020-11-18

答案

郭敦顒回答：
α+β＜3π/2=270°
当α=β=135°时,tanα= cotβ=－1
当90°＜α＜135°时,tanα＜－1,tanα＜cotβ成立,
此时,α+β＜3π/2成立；
当α=135°,90°＜β＜135°时,cotβ＞－1,tanα＜cotβ成立,
此时,α+β＜3π/2成立.
以上结论为特例.
一般地,若0＜θ＜90°,则
tan（90°+θ）=－cotθ=－tan（90°－θ）
cot（90°+θ）=－tanθ,
∵α,β∈（π/2,π）
当tanα= cotβ时,设α=（90°+θ）,则β=180°－θ,α+β=270°.
当tanα= tan（90°+θ）,cot（180°－θ）＞cotβ,tanα＜cotβ成立,
则α=（90°+θ）,180°－θ＞β＞90°,
∴α+β＜3π/2成立；
当cotβ=cot（180°－θ）,tanα＜tan（90°+θ）时,
则β=180°－θ,90°＜α＜（90°+θ）,
∴α+β＜3π/2成立.
综上,当tanα＜cotβ时,总有α+β＜3π/2.