题目

如何证明黎曼函数中,当s为-2n时（n是正整数）,函数值为0

提问时间：2020-11-18

答案

首先回顾Riemann ζ函数的定义：
若Res>1,则ζ(s)=∑{n>=1} 1/n^s；
若Res<0,则ζ(s)=(2^s)(π^(s-1))sin(πs/2)Γ(1-s)ζ(1-s),
其中Γ表示Gamma函数：Γ(z)=∫[0,∞) t^(z-1)e^(-t) dt
（或者等价地用函数方程：当s≠0且s≠1时有
π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)=π^(-(1-s)/2)Γ((1-s)/2)ζ(1-s)）；
若0<=Res<=1,使用上面的定义的ζ在全平面的唯一解析延拓.
令s=-2n,满足Res<0,所以ζ(-2n)
=(2^(-2n))(π^(-2n-1))sin(-nπ)Γ(1+2n)ζ(1+2n)
=(2^(-2n))(π^(-2n-1))((2n)!)ζ(1+2n)*sin(-nπ),
而其中sin(-nπ)=0,所以ζ(-2n)=0.证毕