题目

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=根号5,过双曲线上一点M做两条直线MA,MB分别交双曲线于点A,B.
且直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,若直线AB过原点O,则k1*k2的值为?

提问时间：2020-11-17

答案

设M(x0,y0) A(x1,y1) B(x2,y2)
因为双曲线关于原点对称,直线AB过原点O,
所以x1=-x2 y1=-y2
即B(-x1,-y1)
k1=(y0-y1)/(x0-x1)
k2=(y0+y1)/(x0+x1)
k1*k2=(y0^2-y1^2)/(x0^2-x1^2)
A,M都在双曲线上,则
y0^2=b^2(x0^2/a^2-1) y1^2=b^2(x1^2/a^2-1)
所以 y0^2-y1^2=b^2(x0^2-x1^2)/a^2
k1*k2=b^2/a^2
因为e=c/a=根号5
所以 c=根号5*a c^2=5a^2
b^2=c^2-a^2=4a^2
所以
k1*k2=b^2/a^2=4