题目

已知椭圆X^2/5+Y^2=1,斜率存在的直线L过椭圆焦点且交椭圆于AB两点,已知M（1,0） 若(向量MA+向量MB)
垂直于向量AB,求直线l的方程

提问时间：2020-11-17

答案

设A、B两点为：(x1,y1)、(x2,y2),由x²+5y²=5,代入x2和x1相减得：(y2)²-(y1)²=-[(x2)²-(x1)²]/5,向量AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1),向量MA=OA-OM=(x1-1,y1),向量MB=OB-OM=(x2-1,y2),向量MA+向量MB=(x1+x2-2,y1+y2),(向量MA+向量MB)垂直于向量AB,(x1+x2-2)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0,4[(x2)²-(x1)²]/5-2(x2-x1)=0,∵x2≠x1,∴x1+x2=5/2,当直线L过椭圆右焦点(2,0)时,设直线L为：y=kx-2k,与椭圆x²+5y²=5联立得：x1+x2=20k²/(1+5k²),20k²/(1+5k²)=5/2,k=±√3/3,当直线L过椭圆右焦点(-2,0)时,设直线L为：y=kx+2k,与椭圆x²+5y²=5联立得：x1+x2=-20k²/(1+5k²),-20k²/(1+5k²)=5/2,k²=-1/13(舍去),则直线L过椭圆右焦点,直线l的方程：y=±√3(x-2)/3.