题目

已知抛物线y^2=4x截直线y=2x+b所得弦长AB=3根号5,试在X轴上求一点P,让三角形ABP的面积为39

提问时间：2020-11-17

答案

联立y^2=4x和y=2x+b,得
4x^2+(4b-4)x+b^2=0
设点A和点B的坐标分别为（x1,y1),(x2,y2)(其中y10)
则,x1+x2=-(b-1),x1x2=b^2/4
同理可求得,y^2-2y+2b=.则y1+y2=2,y1y2=2b
因为弦长AB=3倍根号5,而|AB|=根号（（y2-y1）＾2+（x2-x1）＾2)
而（y2-y1）＾2=（y2+y1）＾2-4y1y2
（x2-x1）＾2=（x2+x1）＾2-4x1x2
这样,可以求得b=-4
因此,直线方程为y=2x-4,即2x-y-4=0
设点P的坐标为（x3,0)
则,点P到直线2x-y-4=0的距离为|2x3-0-4|/根号(2^2+1^2)=|2x3-4|/根号5
又三角形ABP的面积为39
所以,(3倍根号5*|2x3-4|/根号5)/2=39
求得,x3=15,x3=-11(舍去）
所以,点P坐标为（15,0）