题目

二次函数f（x）满足f（4+x）=f（-x），且f（2）=1，f（0）=3，若f（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，则实数m的取值范围是______．

提问时间：2020-11-17

答案

∵二次函数f（x）满足f（4+x）=f（-x），
∴函数的对称轴为直线x=2，故可设函数解析式为f（x）=a（x-2）²+h，
∵f（2）=1，f（0）=3，
∴

h＝1 4a+h＝3

，解得

h＝1 a＝ 1 2

∴f（x）=

1

2

（x-2）²+1
令

1

2

（x-2）²+1=3，则x=0或x=4
∵f（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，
∴实数m的取值范围是[2，4]．
故答案为：[2，4]．

先确定函数的解析式，再根据f（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，即可求得实数m的取值范围．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题考查二次函数的性质，考查函数的解析式，解题的关键是确定函数的解析式．