题目
如何利用矩阵的初等行变换判断向量组线性相关或线性无关?
提问时间:2020-11-17
答案
m个n维列向量α1,α2,……,αm,如果m>n.{α1,α2,……,αm}必然线性相关.
当m≤n时.对n行m列矩阵(α1,α2,……,αm),进行行初等变换.目标是有r
列.其前r行构成的子式变成r阶单位矩阵.并且整个矩阵,自r+1行之后全部为
零.
如果r=n.则.{α1,α2,……,αm}线性无关.
如果r<n..{α1,α2,……,αm}线性相关.
并且:还同时解决了两个其他的重要问题.①找出了最大无关组.
②找出了“其他”向量关于这个最大无关组的表示式.
例如(α1,α2,α3,α4,α5)→行初等变换→
2,1,3,0,0
-1,0,2,1,0
12,0.-2,0,1
0,0,0,0,0.(标准形),则有:
①.{α1,α2,α3,α4,α5}线性相关.(∵3=r<4=n)
②.最大无关组为{α2,α4,α5}(当然不唯一.)
③.α1=2α2-α4+12α5.α3=3α2+2α4-2α5.
(这些结果的道理,只一个,就是:行初等变换保持列之间的线性关系.)
当m≤n时.对n行m列矩阵(α1,α2,……,αm),进行行初等变换.目标是有r
列.其前r行构成的子式变成r阶单位矩阵.并且整个矩阵,自r+1行之后全部为
零.
如果r=n.则.{α1,α2,……,αm}线性无关.
如果r<n..{α1,α2,……,αm}线性相关.
并且:还同时解决了两个其他的重要问题.①找出了最大无关组.
②找出了“其他”向量关于这个最大无关组的表示式.
例如(α1,α2,α3,α4,α5)→行初等变换→
2,1,3,0,0
-1,0,2,1,0
12,0.-2,0,1
0,0,0,0,0.(标准形),则有:
①.{α1,α2,α3,α4,α5}线性相关.(∵3=r<4=n)
②.最大无关组为{α2,α4,α5}(当然不唯一.)
③.α1=2α2-α4+12α5.α3=3α2+2α4-2α5.
(这些结果的道理,只一个,就是:行初等变换保持列之间的线性关系.)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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