题目

空间曲线切线及法平面
若空间曲线的参数方程为x=a(t),y=b(t),z=c(t),t属于[d,e],三个函数都在[d,e]上可导,且三个导数不同时为零.现在要求曲线在其上的一点M(xo,yo,zo)处的切线及法平面方程.设与点m对应的参数为to,记f(t)=(a(t),b(t),c(t)),由向量值函数的导向量的几何意义知,向量T=f(to)=(a'(to),b'(to),c'(to))就是曲线在点m处的一个切向量,从而曲线在点M处的切线方程为(x-x0)/a'(to)=(y-yo)/b'(to)=(z-zo)/c'(to).通过点M且与切线垂直的平面称为曲线在点M处的法平面,它通过点m(xo,yo,zo)且以T=f‘(to)为法向量的平面.因此法平面方程为a'(to)(x-xo)+b'(to)(y-yo)+c'(to)(z-zo)=0.我的问题是：(1)切线方程为什么是(x-x0)/a'(to)=(y-yo)/b'(to)=(z-zo)/c'(to)；(2)(x-x0)/a'(to),(y-yo)/b'(to),(z-zo)/c'(to)分别表示什么意思,在图形上代表什么；法平面方程为a'(to)(x-xo)+b'(to)(y-yo)+c'(to)(z-zo)=0为什么是这样?

提问时间：2020-11-16

答案

(1)切线方程为什么是(x-x0)/a'(to)=(y-yo)/b'(to)=(z-zo)/c'(to)
切向量=﹛a'(to),b'(to),c'(to)﹜.﹙x,y,z﹚是切线上←→﹛x-x0,y-y0,z-z0﹜∥﹛a'(to),b'(to),c'(to)﹜
∴切线方程是(x-x0)/a'(to)=(y-yo)/b'(to)=(z-zo)/c'(to) [平行向量的分量成比例.)(x-x0)/a'(to),(y-
yo)/b'(to),(z-zo)/c'(to)都是这个比例的比值,在图形上代表这两个向量的比值]
﹙x,y,z﹚在法平面上←→﹛x-x0,y-y0,z-z0﹜⊥﹛a'(to),b'(to),c'(to)﹜
←→﹛x-x0,y-y0,z-z0﹜•﹛a'(to),b'(to),c'(to)﹜＝0
←→a'(to)(x-xo)+b'(to)(y-yo)+c'(to)(z-zo)=0