题目
设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A、B两点.
(1)设L的斜率为1,求|AB|的大小;
(2)求证:
•
是一个定值.
(1)设L的斜率为1,求|AB|的大小;
(2)求证:
OA |
OB |
提问时间:2020-11-16
答案
(1) ∵直线L的斜率为1且过点F(1,0),∴直线L的方程为y=x-1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
消去y得x2-6x+1=0,△>0,
∴x1+x2=6,x1x2=1.
∴|AB|=x1+x2+p=8.
(2)证明:设直线L的方程为x=ky+1,联立
消去x得y2-4ky-4=0.△>0,
∴y1+y2=4k,y1y2=-4,
设A=(x1,y1),B=(x2,y2),则
=(x1,y1),
=(x2,y2).
∴
•
=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2
=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3.
∴
•
=-3是一个定值.
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
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∴x1+x2=6,x1x2=1.
∴|AB|=x1+x2+p=8.
(2)证明:设直线L的方程为x=ky+1,联立
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∴y1+y2=4k,y1y2=-4,
设A=(x1,y1),B=(x2,y2),则
OA |
OB |
∴
OA |
OB |
=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3.
∴
OA |
OB |
(1)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出;
(2)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出;
(2)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出;
直线与圆锥曲线的综合问题.
熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式、向量的数量积是解题的关键.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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