题目

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC.其中有正确结论的个数是（　　）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

提问时间：2020-11-16

答案

延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF，
∴NP=EP，
∴AN=PF
在△ANP与△FPE中，
∵

NP＝EP ∠ANP＝∠EPF AN＝PF

，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正确）；
△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM
∴∠PMF=∠ANP=90°
∴AP⊥EF，（故②正确）；
P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形和PD=2EC不一定成立，（故③⑤错误）；
故正确的是：①②④．
故选：B．

可以证明△ANP≌△FPE，即可证得①④是正确的，根据三角形的内角和定理即可判断②正确；根据P的任意性可以判断③⑤的正确性．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查了正方形的性质，正确证明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解决本题的关键．