题目
使3^n+81是完全平方数的正整数n有几个
提问时间：2020-11-16
答案
容易验证n=1,2,3,4都不可行,所以n≥5.
3^n+81=3^4*[3^(n-4)+1]
要使3^n+81是完全平方数,则3^(n-4)+1是完全平方数,设
3^(n-4)+1=k^2,于是
3^(n-4)=(k-1)(k+1),注意到两个正整数k-1与k+1相差2,所以不可能同为3的倍数,但二者之积却是3的幂,也就是说二者也都是3的幂,只有一种情况：
k-1=1,k+1=3,这时k=2,n=5.
也就是说只有n=5时,3^n+81是完全平方数.
3^n+81=3^4*[3^(n-4)+1]
要使3^n+81是完全平方数,则3^(n-4)+1是完全平方数,设
3^(n-4)+1=k^2,于是
3^(n-4)=(k-1)(k+1),注意到两个正整数k-1与k+1相差2,所以不可能同为3的倍数,但二者之积却是3的幂,也就是说二者也都是3的幂,只有一种情况：
k-1=1,k+1=3,这时k=2,n=5.
也就是说只有n=5时,3^n+81是完全平方数.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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