题目

什么是无穷大什么是无穷小

提问时间：2020-11-16

答案

无穷大:在数学方面,无穷大并非特指一个概念,而是与下述的主题相关：极限、阿列夫数、集合论中的类、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限等.无穷大量就是在自变量的某个变化过程中,绝对值无限增大的变量或函数.
精确定义
设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）.如果对于任意给定的正数M（无论它多么大）,总存在正数δ（或正数X）,只要x适合不等式0M,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大.
在自变量的同一变化过程中,无穷大与无穷小具有倒数关系,即当x→a时f(x)为无穷大,则1/f(x)为无穷小；反之,f(x)为无穷小,且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时,1/f(x)才为无穷大.
无穷大记作∞,不可与很大的数混为一谈.
分类
无穷大分为正无穷大、负无穷大和无穷大（可正可负）,分别记作+∞、-∞以及∞ ,非常广泛的应用于数学当中.
性质
两个无穷大量之和不一定是无穷大；
有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大（如常数0就算是有界函数）；
两个无穷大量之积一定是无穷大.
另外,一个数列不是无穷大量,不代表它就是有界的（如,数列1,1/2,3,1/3,……）.
无穷小量：
无穷小量即以数0为极限的变量.确切地说,当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时,函数值f(x)与0无限接近,即f(x)→0(或f(x)=0),则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量.例如,f(x)=(x－1)^2是当x→1时的无穷小量,f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量,f(x)=sin(x)是当x→0时的无穷小量.特别要指出的是,切不可把很小的数与无穷小量混为一谈.
初学者应当注意的是,无穷小量是极限为0的变量而不是数量0,是指自变量在一定变动方式下其极限为数量0,称一个函数是无穷小量,一定要说明自变量的变化趋势.
不能笼统说 0是无穷小量.也不能说无穷小就是 0
无穷小量通常用小写希腊字母表示,如α、β、ε等,有时候也用α（x）、ο（x）[1]等,表示无穷小量是以x为自变量的函数.
注意：
1.无穷小量不是一个很小的数,它是一个变量.
2.零可以作为无穷小量的唯一一个常数.
3.无穷小量与自变量的趋势相关.