题目

已知：f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期和增区间；
（2）若f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上最大值与最小值之和为3，求a的值．

提问时间：2020-11-15

答案

（1）f（x）=2cos2x+23sinxcosx+a=1+cos2x+3sin2x+a=2sin（2x+π6）+a+1，∴T=2π2=π，由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，得kπ-π3x≤π6+kπ，k∈Z，∴函数f（x）的增区间为[kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z）；（2）∵x∈[...

（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用周期公式求得函数的最小正周期，利用正弦函数的性质求得函数的单调增区间．
（2）根据x的范围确定2x+

π

6

的范围，进而确定sin（2x+

π

6

）的范围，则函数的最大和最小值的表达式可得，最后相加即可求得a．

本题考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．

考点点评：本题主要考查了二倍角公式和两角和公式的应用，三角函数图象与性质．考查了学生基础知识的掌握和一定的运算能力．