题目

一道平面向量的证明题
在△ABC中,任作一条直线l,分别交直线AB,AC于D,E,若 (向量AD)=x×(向量AB) ,(向量AE)=y×(向量AC) ,求证:1/x+1/y=3 的充要条件是 直线l恒过△ABC重心G.
(原题无图)

提问时间：2020-11-15

答案

依题意,假设L就是过重心G的一条直线,若能证明出1/x+1/y=3也就能说明问题：1/x+1/y=3 的充要条件是：直线L恒过△ABC重心G.
下面就证明过G的直线L能推导出1/x+1/y=3
延长AG交BC于M
由直线的向量形式的参数方程得：（打“向量”太麻烦,下面我都不打向量二字,写在前的表起点,写在后的表终点）AG=kAD+(1-k)AE
因为AD=xAB,AE=yAC
所以AG=kxAB+(1-k)yAC ①
又G为三角形的重心,所以M为三角形的中线（即M为BC中点）
所以AM=1/2AB+1/2AC
且AG=2/3AM,得到AG=1/3AB+1/3AC ②
所以由①②：1/3AB+1/3AC=kxAB+(1-k)yAC
所以1/3=kx,1/3=(1-k)y
消去k得1/x+1/y=3
希望我的回答你能满意!