题目

数学证明题,求详细过程
一个三角形在一个坐标系内,这个三角形的顶点的坐标都是有理数.它的边可能是2：3：4吗? （这道题提示说用海伦公式）
请证明！

提问时间：2020-11-15

答案

反证法,假设原命题正确
首先,设三角形三边长分别为2k,3k,4k,由海伦公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] p=(a+b+c)/2
可知S=√[9/2k（9/2k-2k)（9/2k-3k）（9/2k-4k)]=(3k²√15 )/4=[(2k)²3√15] /16
因为三角形的顶点的坐标都是有理数,所以三角形一边长2k=√（x1-x2)²+(y1-y2)²
所以（2k）²是有理数,所以上式中S为无理数
然而,用割补法,将三角形补成一个矩形,矩形面积是有理数,再减去多余的三角形,（三角形面积也是有理数）,得S是有理数
矛盾,所以假设错误,原命题错误