题目

如图(1),抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交C（0,3） （1）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?若存在,请求出点D的坐标；若不存在,请说明理由； （2）在抛物线y=x²-2x+k上求点Q,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形.

提问时间：2020-11-15

答案

你题目错了吧?是与y轴交于C(0,﹣3)吧?如果是(0,3)的话与x轴没有交点.
1、 (这一题我用两种解法,你看哪一种你能看懂)
C(0,﹣3),代入,得k=-3
∴y=x²-2x-3
令y=0,解得x=3或-1,∴A(-1,0)、B(3,0)
∵四边形ABDC,
∴D一定在C右边 (因为四个顶点要按ABDC的顺序排)
法一：作DE⊥x轴于E,原点为O,这样ABDC就被分成三份
∵D在抛物线上
∴设D(x,y) (y直接用x²-2x-3代了)
∵y轴右边,在x轴下方,∴0＜x＜3,y=＜0
OE=|x|=x,BE= |3-x|=3-x,DE=|y|=﹣y= -(x²-2x-3) = -x²+2x+3
S△AOC=3/2
S梯形OCDE=(OC+DE)·OE/2=(3-x²+2x+3)·x/2=(-x³+2x²+6x)/2
S△BDE=BE·DE/2=(3-x)(-x²+2x+3)/2=(x³-5x²+3x+9)/2
∴S(ABDC)
=S△AOC + S梯形OCDE + S△BDE
=3/2 + (-x³+2x²+6x)/2 + (x³-5x²+3x+9)/2
=(-3x²+9x+12)/2
=(-3/2)(x²-3x) + 6
=(-3/2)(x- 3/2)² + 75/8
当x=3/2时,取最大值75/8 (其实这也是抛物线y=(-3x²+9x+12)/2的顶点坐标)
∴x=3/2,代入原抛物线中得y= -15/4
∴D(3/2,-15/4)
法二：连接BC,这样ABDC就被分成两份
分析：△ABC面积是一定的为6,这样就看△BCD的面积了,而△BCD中BC长是一定的,就看D到BC的距离,也就是“高”了,要使高最大,且D又要在抛物线上,∴把BC往这边平移,直到和抛物线相切时,那个切点就是D了,我们设平移后的直线为L,根据B、C的坐标很容易求的BC的解析式为y=x-3,∵BC∥L,∴它们的k相等为1,∴设L：y=x+b
∵D在直线L上
∴设D(x,x+b)
又∵D又在抛物线y=x²-2x-3上,代入,得：
x+b=x²-2x-3
即x²-3x-(3+b)=0
∵L与抛物线相切,即：只有一个交点
∴判别式=9+4(3+b)=0
∴b=-21/4,代入x²-3x-(3+b)=0中,解得x=3/2
∴y= x+b=-15/4
∴D(3/2,-15/4)
2、
分析：这题肯定不止一种情况,因为斜边不确定,有可能是CQ、有可能是BQ
法一：(很烦)
①先假设是CQ为斜边.∵Q在抛物线上,∴设Q(x,x²-2x-3),
则CQ中点为P( x/2,(x²-2x-6)/2 ) (中点坐标会求吧,x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2.x1x2y1y2分别是CQ的横纵坐标)
根据斜边上的中线等于斜边的一半,得BP=CQ/2,即：BP²=CQ²/4
BP²=(x/2 - 3)² + [(x²-2x-6)/2]²=(x/2 - 3)² + (x²-2x-6)²/4
CQ²=x²+(x²-2x)²
∵BP²=CQ²/4
∴(x/2 - 3)² + (x²-2x-6)²/4 = [x²+(x²-2x)²]/4
即：(x/2 - 3)² + [ (x²-2x)²+6² -2×6(x²-2x)]/4 = [x²+(x²-2x)²]/4
(x/2 - 3)² + 9 -3(x²-2x) = x²/4 (“(x²-2x)²/4”两边约掉了)
化简：x²-x-6=0
解得：x=3或-2
即Q点横坐标为3或-2,代入抛物线求的Q点坐标为(3,0) 或 (-2,5)
其中(3,0)舍去,因为此时B、Q重合了
②再假设是BQ为斜边.∵
则BQ中点为M ( (x+3)/2,(x²-2x-3)/2 )
根据斜边上的中线等于斜边的一半,得CM=BQ/2,即：CM²=BQ²/4
CM²=[(x+3)/2]² + [(x²-2x-3)/2 +3]²=(x+3)²/4 + (x²-2x+3)²/4
BQ²=(x-3)²+(x²-2x-3)²
∵BP²=CQ²/4
∴(x+3)²/4 + (x²-2x+3)²/4= [(x-3)²+(x²-2x-3)²]/4
即：(x+3)²/4 + [(x²-2x)²+9+2×3(x²-2x)]/4= [(x-3)²+(x²-2x)²+9-2×3(x²-2x)]/4
(x+3)²/4 + 6(x²-2x)/4= [(x-3)²-6(x²-2x)]/4 (“[(x²-2x)²+9]/4”两边约掉了)
化简：x²-x=0
解得：x=0或1
即Q点横坐标为3或-2,代入抛物线求的Q点坐标为(0,-3) 或 (1,-4)
其中(0,-3)舍去,因为此时C、Q重合了
∴Q(-2,5) 或 (1,-4)
法二：
①先假设是CQ为斜边,即BC⊥BQ
∵很容易看出BC∥直线y=x
又∵直线y=x ⊥ 直线y=-x ,切BC⊥BQ
∴BQ与∥直线y=-x
∴设BQ解析式为y=-x+b
把B(3,0)代入,得b=3
∴BQ解析式为y=-x+3
∵Q在BQ上且Q在抛物线上
∴Q同时满足y=-x+3和y=x²-2x-3,
解方程组得x=3,y=0或x=-2,y=5
∴Q点坐标为(-2,5) （ (3,0)舍去,因为此时Q、B重合了）
②再假设是BQ为斜边,即BC⊥CQ
∵很容易看出BC∥直线y=x
又∵直线y=x ⊥ 直线y=-x ,切BC⊥CQ
∴CQ与∥直线y=-x
∴设CQ解析式为y=-x+c
把C(0,-3)代入,得c=-3
∴CQ解析式为y=-x-3
∵Q在CQ上且Q在抛物线上
∴Q同时满足y=-x-3和y=x²-2x-3,
解方程组得x=0,y=-3或x=1,y=-4
∴Q点坐标为(1,-4) （(0,-3)舍去,因为此时Q、C重合了）
∴Q(-2,5) 或 (1,-4)