题目

有点难啊.
设x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a.其中a,b,c为质数.如果x^2=y,√z-√y=2.试求积abc的所有可能的值.

提问时间：2020-11-15

答案

已知x=a+b-c,y=a+c-b
相加得x+y=2a
由y=x^2得x^2+x=2a
故有x^2+x-2a=0
即x^2+x+1/4-1/4-2a=0
即(x+1/2)^2=(1+8a)/4
即(2x+1)^2=1+8a
因为a,b,c都是质数,所以x,y,z都是整数,因此2x+1是整数,
因此1+8a=(2x+1)^2是完全平方数
化简得2a=x(x+1)
a是质数,取a=3,5,7,11,17……很显然只有a=3满足上式
于是得(2x+1)^2=1+8a=25
分情况讨论
①2x+1=5
此时x=2,y=4,z=16
解得a=3,b=9,c=10,显然b和c不是质数,不合题意,舍去!
②2x+1=-5
此时x=-3,y=9,z=25
解得a=3,b=11,c=17,b和c都是质数,满足题意
因此所有可能的值abc=3×11×17=561