题目

设函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值为g(a)（1）求g(a)(2)求使g(a)=1/2的a的值及此时f(x)的最大值

提问时间：2020-11-15

答案

(1)
f(x)=1-2a-2acosx-2sin²x
=-2(1-cos²x)-2acosx-2a+1
=2cos²x-2acosx-2a-1
=2(cosx-a/2)²-a²/4-2a-1-1≤cosx≤1
当-1≤a/2≤1即-2≤a≤2时,
当cosx=a/2时,g(a)=f(x)min=-a²/4-2a-1

当a/2<-1即a<-2时,
当cosx=-1时,g(a)=f(x)min=1


当a/2>1即a>2时,

cosx=1时,g(a)=f(x)min=1-4a
综上所述
{1 , (a<-2)
g(a)={ -a²/2-2a-1 (-2≤a≤2)
{ 1-4a, (a>2) (2)

g(a)=1/2

a<-2时,不存在a值

-2≤a≤2时,

由-a²/2-2a-1=1/2

得a²+4a+3=0,
a=-3（舍去）或a=-1
当a>2时,由1-4a=1/2得： a=1/8,不合题意 满足条件的a=-1
此时,f(x)=2(cosx+1/2)²+1/2
cosx=1时,f(x)max=5