题目

数学考研真题线性代数有一道题不懂怎么做错了,请大神看看为什么
数学一06年21题
设3阶是对称矩阵A的各行元素之和为3,向量α1=（-1,2,-1）T,α2=(0,-1,1)T是线性方程组AX=0的两个解.1求A的特征值和特征向量.
我的做法怎么错了?我是这样做的
第1步 α1,α2是AX=0两个线性无关的解,所以3-r(A)>=2,所以r(A)=1,所以r(A)=1.所以朗姆达1=朗姆达2=0.
第2步 设A第一行行向量为a1,元素为a11,a12,a13,由已知可列处方程组
a11+a12+a13=3
a1*α1=0
a1*α2=0
解得a11=a12=a13=1,又r(A)=1,所以朗姆达3=1.
但是答案是0,0,3.请高手指出我的思路怎么错了

提问时间：2020-11-15

答案

λ是特征值,λ3求错了,对于矩阵,有∑λ=∑aii(特征值之和=矩阵的对角线元素之和),你第二步时出错,令矩阵某行航向量α=(x,y,z),有x+y+z=3,α·a1=-x+2y-z=0,α·a2=-y+z=0,对于该线性方程组,系数矩阵B=[1 1 1],X=(x,y,z)T,b=(3,0,0)T,BX=b,而r(B)=3=r(B|b),BX=b有唯一解,X=(1,1,1)T,
-1 2 -1
0 -1 1
由此可知,A的行向量只能是X=(1,1,1)T,A=[1 1 1]
1 1 1
1 1 1
显然,λ1+λ2+λ3=a11+a22+a33=3,而λ1=λ2=0,则λ3=3