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题目
已知如图,正方形ABCD中,E为DC上一点,连接BE,作CF⊥BE于P交AD于F点,若恰好使得AP=AB.求证:E为DC中点.

提问时间:2020-11-14

答案
证明:过A作AM⊥BE与M.
∴∠AMB=∠AMP=90°,
∴∠1+∠3=90°   
∵BE⊥CF
∴∠4=90°
∴∠AMB=∠4    
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD,∠ABC=90°.
即∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠3
∵在△ABM和△BCP中,
∠AMB=∠4
∠3=∠2 
AB=BC

∴△ABM≌△BCP(AAS)
∴AM=BP   
∵AP=AB,AM⊥BE,
∴BM=
1
2
BP=
1
2
AM.
∵∠2=∠3,∠AMB=∠BCE,
∴△ABM∽△BEC
BM
AM
CE
BC
1
2

∵BC=DC
∴CE=
1
2
DC.
∴E为DC中点.
过A作AM⊥BE与M,根据条件可以得出△ABM≌△BCP,可以得出AP=AB,进而可以得出△ABM∽△BEC由相似三角形的性质就得出CE=
1
2
DC,从而可以得出结论.

正方形的性质;全等三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质.

本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,相似三角形的判定及性质的运用,解答时正确作出辅助线是解答本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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