题目

在正方形ABCD中,F为AD上一点 ,且DF=四分之一AD ,E是CD的中点 求证BE垂直EF

提问时间：2020-11-14

答案

证明：因为DF=四分之一AD
所以DF/DE=1/2,
因为E是CD的中点,
所以EC/CD=EC/BC=1/2,
所以DF/DE=CE/CB,
又∠D=∠B=90
所以△DEF∽△CBE,
所以∠FED=∠EBC,
又∠EBC+∠BEC=90,
所以∠FED+∠BEC=90,
所以∠FEB=180-(∠FED+∠BEC)=90,
即BE垂直EF
没有学过相似?那么用勾股定理
证明：连DF
设正方形边长为a,则DF=a/4,DE=a/2,
在直角三角形ABF中,BF^2=AB^2+AF^2=a^2+(3a/4)^2=25a^2/16,
在直角三角形DEF中,EF^2=DE^2+DF^2=(a/2)^2+(a/4)^2=5a^2/16,
在直角三角形BCE中,BE^2=BC^2+CE^2=a^2+(a/2)^2=5a^2/4,
EF^2+BE^2=5a^2/16+5a^2/4=25a^2/16=BF^2
所以△BEF是直角三角形,BF是斜边
所以BE垂直EF