题目

已知函数f（x）=x³-ax²+3x．
（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．
（Ⅱ）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-11-14

答案

（Ⅰ） 由题意知f'（x）=3x²-2ax+3=0的一个根为x=3，可得a=5，…（3分）
所以f'（x）=3x²-10x+3=0的根为x=3或 x＝

1

3

（舍去），
当1＜x＜3时，f'（x）＜0，当3＜x＜5时，f'（x）＞0，
f（x）在x∈[1，3]上单调递减，在x∈[3，5]上单调递增
又f（1）=-1，f（3）=-9，f（5）=15，
∴f（x）在x∈[1，5]上的最小值是f（3）=-9，最大值是f（5）=15．…（7分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²-2ax+3，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，则有3x²-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）内恒成立，
即a≤

3x

2

+

3

2x

在x∈[1，+∞）内恒成立
又

3x

2

+

3

2x

≥3（当且仅当x=1时取等号），所以a≤3…（13分）

（Ⅰ） 由题意知f'（x）=3x²-2ax+3=0的一个根为x=3，可得a=5，再利用导数求其最小值和最大值
（Ⅱ）f'（x）=3x²-2ax+3，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，则有3x²-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）内恒成立，分离参数a，转化为即a≤

3x

2

+

3

2x

在x∈[1，+∞）内恒成立

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查导数知识的运用，求函数的单调性，函数的最值，分离参数的方法解决恒成立问题．