题目

如何通过概率密度求分布函数?主要不明白在积分时候为什么把前面的范围也加进去了?
随机变量X的概率密度为:
f(x)= x,0≤x＜1,
f(x)= 2-x,1≤x＜2,
f(x)= 0,其他
[f(x)前面是个"{"],但是这里打不方便,f(x)是一整函数.希望高手能看明白.
求X的分布函数F(x).
书上有分别把1.当x＜0时,用积分把F(x)=0求出来;2.当0≤x＜1时,F(x)=(x^2)/2求出来;3.当1≤x＜2时,F(x)=-(x^2)/2+2x-1求出来;4.当2≤x时,F(x)=1求出来.
我不理解2.和3.和4.在积分的时候,为什么把前面的范围也考虑进去?比如第3.书上在积分是,用∫(0,1)tdt+∫(1,x)(2-t)dt来求.
"∫"表示积分的符号,(0,1)表示上限为1,下限为0.(1,x)表示上限是x,下限是1.
我不太能理解在积分时候为什么把前面的范围也加进去了?
现在没办法看书.

提问时间：2020-11-14

答案

你只要按照分布函数F(x)的定义去想就可以了.
F(x)=P{X<=x},这里X包含的范围是负无穷到x的.
那么小于x的部分就应该全部算进去.
然后,由于这个概率密度是分段函数,那么各个部分就不一样的了.
所以2,3,4都只需要按照分步积分来理解就行啊.
举个一般的例子:
F(x)=P{X<=x}=∫(负无穷,x)f(t)dt
这个是分布函数的定义,积分下限负无穷,积分上限为x.
那么这里的话从节点分开积分就得到:
∫(负无穷,x)f(t)dt=∫(负无穷,0)f(t)dt+∫(0,x)f(t)dt
象3和4的话,∫(0,x)f(t)dt再分开x=1和x=2两个节点来分步积分.