题目

已知抛物线y^2=2x(p大于0),过点(1,0)作斜率为k的直线l交抛物线于A,B两点,A点关于x轴的对称点为C,...
已知抛物线y^2=2x(p大于0),过点(1,0)作斜率为k的直线l交抛物线于A,B两点,A点关于x轴的对称点为C,直线BC交x轴于Q,试证明当k变化时,Q为定点

提问时间：2020-11-11

答案

设A(x1,y1) 或A(y1^2/2,y1) B(x2,y2)或B(y2^2/2,y2) y=K(x-1) (1)
y^2=2x (2)
得x=y^2/2 代入（1） 整理得 ky^2-2y-2k=0 韦达定理得y1+y2=1/k (3) y1*y2=-2 (4)
还可以求出 y1-y2=+-√(1/k^2+8)（这题不需要这个结果）
设C(Y1^2/2,-y1) 则BC直线方程为 y+y1=(y2+y1)/[(y2^2-y1^2)/2](x-y1^2/2)
（4）结果代入整理得 y(y1-y2)=2x+2 与X轴交点y=0 (无论K为何值方程左边都为0) 所以2x+2=0 从而 x=-1
即过定点Q（-1,0）