题目

如果自然数x_i满足x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=x₁x₂x₃x₄x₅，求x₅的最大值．

提问时间：2020-11-11

答案

∵自然数x_i满足x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=x₁x₂x₃x₄x₅，
∴x₁，x₂，x₃，x₄，x₅都是正整数，
不妨设1≤x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅，
若除了x₅其他全是1，
∴4+x₅=x₅，∴不可；
∴至少有2个数大于等于2，
若只有2个数大于等于2，则3+x₄+x₅=x₄x₅，
即（x₄-1）（x₅-1）=4，
∴x₅=5，x₄=2（舍去）或x₅=3，x₄=3，
∴至少有3个数大于等于2，
若3个数大于等于2中有2个等于2，则1+1+2+2+x₅=4x₅，
∴x₅=2，∴不可；
∴至少有3个数大于等于2，3个数大于等于2中只有1个等于2，那么至少还有一个大于等于3，
若x₅≥6，
∴x₁x₂x₃x₄x₅≥1×1×2×3×6≥36，
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤5×6=30，矛盾，
∴x₅≤5，其次x₁=1，x₂=1，x₃=1，x₄=2，x₅=5，成立．
∴x₅的最大值为5．