题目

如图,BC为圆o的直径,AD⊥BC,垂直为点D,BA=AF,BF与AD交于点E.(1)求证：AE=BE
(2)若点A和点F把半圆三等分,BC=12.

提问时间：2020-11-11

答案

证明：
（1）
延长AD交圆O于G
∵AD⊥BC
∴弧AB=弧BG【垂直于弦的直径平分弦,及弦所对的两条弧】
∴∠BAG=∠BGA【同圆内等弧所对的圆周角相等】
∵BA=AF
∴∠BAG=∠ABF【同圆内等弦所对的圆周角相等】
∴∠BAG=∠ABF
∴AE=BE
（2）
连接AO,FO
∵A和点F把半圆三等分
∴∠AOB =∠AOF =∠FOC =180º÷3=60º
∵OA=OB=半径
∴⊿AOB是等边三角形
∴AB=OB=½BC=6
∵AD⊥BO
∴BD=OD=3,∠BAD=30º【三线合一】
AD=√（AB²-BD²）=3√3
BE ²=BD²+DE²=BD²+(AD-AE)²
BE²=9+(3√3-BE)²=9+27-6√3BE+BE²
BE=36÷6√3=2√3