题目

如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，连接CE，则∠ECA的度数为______．

提问时间：2020-11-11

答案

在BC上截取BF=AB，连接DF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠FBD，
在△ABD和△FBD中，

AB＝FB ∠ABD＝FBD BD＝BD

，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴DF=DA=DE，∠A=∠DFB，
又∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=40°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=100°，
∴∠DFC=180°-∠DFB=180°-∠A=80°，
∴∠FDC=180°-∠ACB-∠DFC=60°，
∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，
∴∠FDC=∠EDC，
在△DCE和△DCF中，

DE＝DF ∠EDC＝∠FDC CD＝CD

，
∴△DCE≌△DCF（SAS），
∴∠ECA=∠DCB=40°．
故答案为：40°

在BC上截取BF=AB，连接DF，根据BD是∠ABC的平分线，得到一对对应角的相等，再加上一对公共边，利用“SAS”可得△ABD≌△FBD，根据全等三角形的对应边、对应角相等，得到DF=DA=DE，∠A=∠DFB，然后利用等边对等角求出∠ACB的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，进而得到∠DFB的度数，再根据对顶角的相等，利用∠ADB求出∠EDC的度数，从而得到∠FDC=∠EDC，再加上一对公共边，根据“SAS”得出△DCE≌△DCF，根据全等三角形的对应角相等即可得出答案．

本题考点：等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．

考点点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，题中两次运用了全等，借助全等得到对应边，对应角的相等，利用角度之间的转换得出答案，要求学生做此类题时，注意利用转化的数学思想以及数形结合的思想，把所学的知识融汇贯穿，灵活运用达到解题的目的．