题目

一道数学题：△ABC中,三内角A,B,C所对的边a,b,c成等差数列
则（ ）
(A) sinB/2=cos(A-C)/2
(B) cosB/2=cos(A-C)/2
(C) 2sinB/2=cos(A-C)/2
(D) 2cosB/2=cos(A-C)/2

提问时间：2020-11-11

答案

选择A选项
这个涉及到在三角函数的几个很重要的公式
公式如下：
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
=-1/2[（cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[-2sinαsinβ]
其他的也是相同的证明方法：
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
=2[sinθ/2cosφ/2+cosθ/2sinφ/2][cosθ/2cosφ/2+
sinφ/2sinθ/2]
=2cosθ/2sinθ/2+2sinφ/2cosφ/2
=sinθ+sinφ
其他的也是相同方法证明：
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
那么就有你的题目的已知条件可得
2b=a+c
由正弦定理也可得
2sinB=sinA+sinC
又上面的和差化积的公式可得
4sinB/2cosB/2=2sin(A+C)/2cos(A-C)/2
2sinB/2=cos(A-C)/2