题目

矩阵A 有n个特征值,能不能直接说它的相似矩阵就是这n个特征值的对角阵化,所构成的矩阵

提问时间：2020-11-11

答案

有n个不同的特征值可以这么说.
而一般n个特征值是包括重数的,这并不能保证一个矩阵可对角化.
但是退而求其次,这个矩阵在复数域上式可以相似于一个Jordan型矩阵,也就是所谓的Jordan标准型,而其中每个Jordan块的主对角线上都是矩阵的特征值.
如果一个矩阵可对角化,也就是说这些Jordan块都是一阶的.这个的直接意义就是这个特征值的几何重数（根子空间的维数,也就是方程组(λE-A)X=0的解空间的维数）等于他的代数重数（特征值在特征多项式中作为根的重数）.
另外注：
楼上关于Jordan标准型的回答是错的.
对角阵并不要求特征值是一重的!