题目

直线Ax+By+C=0与圆x²+y²=4相交于两点M，N，若满足C²=A²+B²，O为坐标原点，则

OM

•

ON

等于______．

提问时间：2020-11-10

答案

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂ 由方程Ax+By+c=0与x²+y²=4联立
消去y得（A²+B²）x²+2ACx+（C²-4A²）=0
所以x₁x₂=

C2−4A2

A2+B2

同理，消去x可得：y₁y₂=

C2−4B2

A2+B2

所以x₁x₂+y₁y₂=

2C2−4A2−4B2

A2+B2

又C²=A²+B²，得：x₁x₂+y₁y₂=-2 即

OM

•

ON

=-2
故答案为：-2

设出M，N的坐标，利用向量的数量积公式表示出两个向量的数量积；将直线与圆方程联立，利用韦达定理求出两个横坐标的积及两个纵坐标的乘积；求出两个向量的数量积．

本题考点：平面向量数量积的含义与物理意义；直线与圆的位置关系．

考点点评：本题考查向量的数量积公式、二次方程的韦达定理、直线与圆的位置关系．