题目

超几何分布期望可以大于一吗

提问时间：2020-11-10

答案

显然是可以的.
对X~H(N,M,n）,E(x)=nM/N
证明：引理一：∑{C(x,a)*C(d-x,b),x=0..min{a,d}}=C(d,a+b）,考察（1+x)^a*（1+x)^b中x^d的系数即得.（另：还可以由超几何分布1=∑P(X=K),k=0,1,2.n得）
引理二：k*C(k,n)=n*C(k-1,n-1）,易得.
正式证明：
EX=∑{k*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0..min{M,n}}
=1/C(n,N)*∑{M*C(k-1,M-1）*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}}
//（提取公因式,同时用引理二变形,注意k的取值改变）
=M/C(n,N)*∑{C(k-1,M-1）*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}} （提取,整理出引理一的前提）
=M*C(n-1,N-1）/C(n,N) （利用引理一）
=Mn/N （化简即得）