题目

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，CA₁⊥BC₁．求证：AB₁=CA₁．

提问时间：2020-11-10

答案

证明　以A为原点，AC为x轴，AA₁为z轴建立空间直角坐标系．
设B（a，b，0），C（c，0，0），A₁（0，0，d），
则B₁（a，b，d），C₁（c，0，d），

AB1

=（a，b，d），

BC1

=（c-a，-b，d），

CA1

=（-c，0，d），
由已知

AB1

•

BC1

=ca-a²-b²+d²=0，

CA1

•

BC1

•

BC1

=-c（c-a）+d²=0，可得c²=a²+b²．
再由两点间距离公式可得：
|AB₁|²=a²+b²+d²，|CA₁|²=c²+d²=a²+b²+d²，
∴AB₁=CA₁．

利用向量方法求线段的长度相等．

本题考点：棱柱的结构特征

考点点评：本题主要考查证明线段的相等，方法很多．