题目

如图：AB、CD是⊙O中两条互相垂直的直径．点P是

AD

上一动点（不与A、D重合），连AP、PD、PC．求

PC−PD

AP

的值．

提问时间：2020-11-10

答案

在CP上截取CE=DP，连接AC、AE、AD．
∵直径AB与直径CD垂直交于O，
∴∠CAD=90°，且AC=AD，
又∵∠ACP=∠ADP，
在△ACE和△ADP中，

AC＝AD ∠CAE＝∠DAP CE＝DP

，
∴△ACE≌△ADP（SAS），
∴AE=AP，∠CAE=∠DAP．，
∴∠DAP+∠EAD=∠CAE+∠EAD=90度，
∴△EAP为等腰直角三角形，
∴PE=

2

AP，
∴

PC−PD

AP

=

PC−CE

AP

=

PE

AP

=

2

．

在CP上截取CE=DP，连接AC、AE、AD，根据直径AB与直径CD垂直交于O得到∠CAD=90°，且AC=AD，从而证得△ACE≌△ADP，从而证得△EAP为等腰直角三角形，得到PE=

2

AP，最后求得

PC−PD

AP

=

PC−CE

AP

=

PE

AP

=

2

．

本题考点：圆的综合题．

考点点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、旋转的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．