题目

数学证明题 天才进!
1.证明根号2是无理数.（可以用反证法等）
2.证明已知A＝a的平方－2b＋二分之π,B＝b的平方－2c＋二分之π,C=c的平方-2a+二分之π,则A,B,C中至少有一个为近似值是真命题.
3.已知a与b均为有理数,且根号a和根号b都是无理数,证明根号a＋根号b也是无理数.
4.证明：如果整数a的平方能被2整除,那么a能被2整除.
5.设有命题“已知a,b为实数,若不等式x的平方+ax+b小于等于0有非空解集,则b的平方-4ac大于等于0”.写出其否命题,并判断真假.
希望都有较完整的解答过程!很急!答全一定再加分!全部答出又好的加到20!

提问时间：2020-11-10

答案

1.既然√2是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式：
√2=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去,所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式.
把 √2=p/q 两边平方
得 2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数,p 必定为偶数,设p=2m
由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也为偶数,设q=2n
既然p和q都是偶数,他们必定有公因数2,这与前面假设p/q是既约分数矛盾.这个矛盾是有假设√2是有理数引起的.因此√2是无理数
2.（没太明白近似值）
3.（“因为：”的内容是定理,答题可以不写）
假设√a＋√b为有理数
（1）a等于b时
√a＋√b=2√a为有理数
因为:任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数
所以:2√a为无理数
与假设矛盾,假设不成立
（2）a不等于b时 √a-√b不等于0
由已知得√a+√b也不等于0
(√a+√b)(√a-√b)=a+b
因为：两个有理数的和必是有理数
所以：a+b是有理数
因为:任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数
所以√a-√b不能是无理数
则有（√a+√b)+(√a-√b)=2√a为有理数
因为:任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数
所以:2√a为无理数,与假设结论矛盾,假设不成立
综上所述,√a+√b为无理数
4.a=0时命题成立
a不等于0时
假设整数a的平方能被2整除,a不能被2整除
因为a为整数,且a不能被2整除,所以a=2m+1
a^2=(2m+1)^2=4m^2+2m+1
则a^2也不能被2整除,与假设不符
所以整数a的平方能被2整除,a能被2整除
5.否命题：已知a,b为实数,若不等式x^2+ax+b小于等于0有非空解集,则Δ