题目

已知二次函数f（x）=x²+bx+c满足：f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值．

提问时间：2020-11-10

答案

（1）∵f（0）=1，∴c=1，…（1分）
∴f（x）=x²+bx+1．
∴f（x+1）-f（x）=（x+1）²+b（x+1）+1-x²-bx-1=2x+b+1=2x…（4分）
∴b=-1，
∴f（x）=x²-x+1．…（6分）
（2）f(x)＝x2−x+1＝(x−

1

2

)2+

3

4

，…（8分）
∵x∈[0，2]，f（2）=3，
∴f（x）在[0，

1

2

]上是减函数，在[

1

2

，2]上是增函数．
又＞f（0）=1，…（10分）
∴f(x)max＝f(2)＝3，f(x)min＝f(

1

2

)＝

3

4

．   …（12分）