题目

在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD=t．

（1）求tan∠FOB的值；
（2）用含t的代数式表示△OAB的面积S；
（3）是否存在点B，使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似？若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．

提问时间：2020-11-10

答案

（1）∵A（2，2），
∴∠AOB=45°，
∴CD=OD=DE=EF=t，
∴tan∠FOB=

t

2t

=

1

2

．（3分）
（2）∵CF∥OB，
∴△ACF∽△AOB，
∴

2 2 - 2 t

2 2

=

t

OB

．
∴OB=

2t

2-t

，
∴S△OAB=

2t

2-t

(0<t<2)．（4分）
（3）要使△BEF与△OFE相似，
∵∠FEO=∠FEB=90°，
∴只要

OE

EB

=

EF

EF

或

OE

EF

=

EF

EB

．
即：BE=2t或EB=

1

2

t，
①当BE=2t时，BO=4t，
∴

2t

2-t

=4t，
∴t₁=0（舍去）或t₂=

3

2

，
∴B（6，0）．（2分）
②当EB=

1

2

t时，
（ⅰ）当B在E的左侧时，

OB=OE-EB=

3

2

t，
∴

2t

2-t

=

3

2

t，
∴t₁=0（舍去）或t₂=

2

3

．
∴B（1，0）．（2分）
（ⅱ）当B在E的右侧时，OB=OE+EB=

5

2

t，
∴

2t

2-t

=

5

2

t，
∴t₁=0（舍去）或t₂=

6

5

，
∴B（3，0）．（2分）
综上，B（1，0）（3，0）（6，0）．

（1）已知点A的坐标，可推出CD=OD=DE=EF=t，可求出tan∠FOB．
（2）证明△ACF∽△AOB推出得

2 2 − 2 t

2 2

＝

t

OB

，然后求出OB关于t的等量关系式，继而求出S△OAB的值．
（3）依题意要使△BEF∽△OFE，则要

OE

EB

＝

EF

EF

或

OE

EF

＝

EF

EB

，即分BE=2t或EB＝

1

2

t两种情况解答．当BE=2t时，BO=4t，根据上述的线段比求出t值；当EB=

1

2

t时也要细分两种情况：当B在E的右侧以及当B在E的左侧时OB的取值，利用线段比求出t值．

本题考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．

考点点评：本题考查的是正方形的性质，坐标与图形的性质以及相似三角形的判定等有关知识．