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题目
八年级数学学习合作小组在学过《图形的相似》这一章后,发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去.如:我们可以定义:“长和宽之比相等的矩形是相似矩形.”相似矩形也有以下的性质:相似矩形的对角线之比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方等等.请你参与这个学习小组,一同探索这类问题:

(1)写出判定菱形相似的一种判定方法:若有一组角对应相等(或两组对角线对应成比例),则这两个菱形相似;
(2)如图,将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′,试证明:四边形A′FCE是菱形,且菱形ABCD∽菱形A′FCE;
(3)若AC=
2
,菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半,求平移的距离AA′的长.

提问时间:2020-11-10

答案
(1)有一组角对应相等(或两组对角线对应成比例);(3分)
(2)利用AD∥A′E,AB∥A′F,得∠DAB=∠D′A′B′
再利用(1)的结论,得到证明;(6分)
(3)∵菱形ABCD∽菱形A′FCE,菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半,
∴菱形ABCD与菱形A′FCE的面积比为2:1,
∴对应边之比为
2
:1,即AC:A′C=
2
:1,(7分)
∵AC=
2

∴A′C=1,(9分)
∴AA′=
2
-1.(10分)
相似多边形的面积的比等于相似比的平方,因而已知面积的比,就可以求出边长的比,求出A′C的长就可以解决.

相似多边形的性质;平移的性质.

本题主要运用了相似多边形的性质,面积的比等于相似比的平方.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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