题目

微分方程dx/2(x+y^4)=dy/y
两边积分得 1/2㏑(x+y^4)=lny+lnc
化简的 x=cy^2-y^4
这样做,什么地方错了吗?

提问时间：2020-11-10

答案

解法一：（全微分法）
∵dx/2(x+y^4)=dy/y ==>ydx=2(x+y^4)dy
==>ydx-2xdy=2y^4dy
==>(ydx-2xdy)y³=2ydy
==>d(x/y²)=d(y²)
==>x/y²=y²+C (C是积分常数)
==>x=(y²+C)y²
∴原微分方程的通解是x=(y²+C)y² (C是积分常数)；
解法二：（常数变易法）
∵齐次方程ydx=2xdy ==>dx/x=2dy/y
==>ln│x│=2ln│y│+ln│C│ (C是积分常数)
==>x=Cy²
∴此齐次方程的通解是x=Cy² (C是积分常数)
于是,设原微分方程的解为x=C(y)y² (C(y)表示关于y的函数)
∵代入原方程,化简整理得C'(y)y³=2y^4
==>C'(y)=2y
==>C(y)=y²+C (C是积分常数)
==>x=C(y)y²=(y²+C)y²
∴原微分方程的通解是x=(y²+C)y² (C是积分常数).