题目

微积分为什么能求不规则图形的面积
微积分为什么能解决复杂的问题

提问时间：2020-11-10

答案

微积分是微分与积分的统称,微分与积分是一对逆运算.微分能求出函数的导数,而积分是求出一个函数的原函数,也就是根据导数求原先的函数.
能求不规则图形面积的是积分,准确来说应该是定积分.但是,这里所说的不规则图形,不是知道了形状和边长就可以求出来,而是处于直角坐标系中的不规则但连续的曲线与x轴围成的图形的面积可以用定积分求出来.
什么叫定积分呢?定积分就是,对一个函数积分后求出原函数,定积分的积分符号上多了上下限,就把上限和下限各代入原函数中计算,再把两者相减,定积分其实就是积分,只不过积分后要把上下限代入再相减.
如果我们要积分的函数是直角坐标系上一条连续的曲线的函数,上下限是这条曲线的区间,那么,这个函数定积分就是这条曲线在区间内与x轴围成的不规则图形的面积.
其实,深入探究后,定积分可以定义为一个黎曼和.什么叫黎曼和呢?要计算一个由直线围成的图形的面积很容易,但是由边长入手计算一个由曲线围成的图形的面积就很难.我们不难想到一个办法,就是用切割方式去逼近曲线图形的面积.对于一个曲线围成的图形,我们可以在里面画许多的直线围成的图形,假设是矩形.它们的和就是这个曲线图形的近似值.我们只画一两个,由于直线曲线难相容,所以我们所画的矩形与曲线图形之间有很多空隙.但是如果我们画更多矩形,不介意画小一点,那么,每个矩形的面积就会更小,但是数量更多,空隙更小,也就更接近曲线图形的面积.假设每个矩形的面积相等,当每个矩形的面积变成无限小的时候,理所当然地曲线图形中的矩形数量是无穷个,它们的乘积的极限就是曲线图形的面积.也就是说,黎曼和就是把一个曲线图形分割成无限份规则图形,可以是其它图形,每份规则图形的面积无限小,它们的和就是这个曲线图形的面积.
因为定积分可以定义为一个黎曼和,那么,定积分就可以计算曲线图形的面积了.