题目

判断与说理
（1）如图1，△ADE中，AE=AD且∠AED=∠ADE，∠EAD=90°，EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请你判断AB、AC是否相等，并说明理由；
（2）△ADE的位置保持不变，将△ABC绕点A逆时针旋转至图2的位置，AD、BE相交于O，请你判断线段BE与CD的关系，并说明理由．

提问时间：2020-11-10

答案

（1）AB=AC
说理如下：∵EC平分∠AED，DB平分∠ADE，
∴∠AEC=

1

2

∠AED，∠ADB=

1

2

∠ADE．
∵∠AED=∠ADE，
∴∠AEC=∠ADB．
在△AEC和△ADB中，∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A，
∴△AEC≌△ADB（ASA）
∴AB=AC；
（2）BE=CD，BE⊥CD
∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EAD+∠BAD=∠BAC+∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
在△AEB和△ADC中，

AB=AC ∠EAB=∠DAC AE=AD

，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠AEB=∠ADC，BE=CD，
∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°，
∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°①，
∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DFE=180°②，
②-①得，∠DFE=90°，
∴BE⊥CD．
综上可得：BE⊥CD，且BE=CD．

（1）要证AB=AC，需要证明△AEC≌△ADB．关键是通过角平分线定义证出∠AEC=∠ADB，再利用ASA的判定方法证出，从而得到结论；
（2）要证BE=CD，需要证明△AEB≌△ADC．关键是先证出∠EAB=∠DAC，再通过SAS证出△AEB≌△ADC，进而得到EB=CD，则∠AEB=∠ADC，再利用∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°，∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°说明∠DOE=90°从而解决问题．

本题考点：全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识；∠EAB=∠DAC的证出事解答本题的关键．