题目

求证：1/sin2α+1/sin4α+……+1/sin2^nα=1/tanα+1/tan2^nα

提问时间：2020-11-09

答案

首先我们要证明这个三角恒等式 1/tan2x=1/tanx-1/sin2x
因为1/tan2x=（1-（tanx)^2)/(2tanx)
所以要证明 1/tan2x=1/tanx-1/sim2x
等价于（1-（tanx)^2)/(2tanx)=1/tanx-1/(2sinxcosx)
1-(tanx)^2=2-2sinx/cosx/(2sinxcosx)
1-(tanx)^2=2-1/(cosx)^2
1+(tanx)^2=(secx)^2
上式显然
故1/tan2x=1/tanx-1/sin2x恒等式成立
即1/sin2x=1/tanx-1/tan2x
令 x=a,2a,4a,8a.2^na
得 1/sin2a=1/tana-1/tan2a
1/sin4a=1/tan2a-1/tan4a
1/sin8a=1/tan4a-1/tan8a
.
1/sin(2^n)α=1/tan2^(n-1)a-1/ tan(2^n)α
上面相加即得1/sin2α+1/sin4α+.+1/sin(2^n)α
=1/tana-1/ tan(2^n)α
以上