题目

在椭圆x^2+4y^2=4上求一点,使其到直线2x+3y=6的距离最短.
貌似要用到拉格朗日函数?用初高中知识的自重,即使会显得简单.

提问时间：2020-11-09

答案

设M是椭圆上一点,M（x,y),
M至直线距离d=(2x+3y-6|/√13,
作目标函数D=(√13d)^2=(2x+3y-6)^2,
限制条件：x^2+4y^2-4=0,
作函数Φ（x)=(2x+3y-6)^2+λ(x^2+4y^2-4),
∂Φ/∂x=4(2x+3y-6)+2λx=0,
2x+3y-6=-λx/2,(1)
∂Φ/∂y=6(2x+3y-6)+8λy=0,
2x+3y-6=-4λy/3,(2)
比较（1）和（2）式,
-λx/2=-4λy/3,
x=8y/3,(3)
代入限制条件,椭圆方程,
(8y/3)^2+4y^2=4,
100y^2=36,
y=±3/5,
x=±8/5,
从作中可知,直线2x+3y=6通过第一象限,不在第三象限,
故取正值距离最小,而取负值距离最大,
∴当M在（8/5,3/5）时,距直线2x+3y=6最小.
我已用初等数学方法验证,答案没有错.
在椭圆上离直线最短的点是与直线平行的切线,
切线方程为：y=-2x/3+5/3,
求得切点为（8/5,3/5）,最短距离为√13/13.