题目

若向区域

y2≤cos2x − π 2 ≤x≤ π 2

内任意投一点P，则点P落在单位圆x²+y²=1内的概率为______．

提问时间：2020-11-09

答案

不等式y²≤cos²x，即|y|≤|cosx|，得-|cosx|≤y≤|cosx|
因此，作出

y2≤cos2x − π 2 ≤x≤ π 2

表示的平面区域，得到如图所示的由弧ABD与弧ACD围成的图形，其面积为
S₁=4

∫

π 2 0

cosxdx=4（-sinx）

|

π 2 0

=4[（-sin

π

2

）-sin0]=4，
∵单位圆x²+y²=1的面积S=πr²=π，
∴点P落在单位圆x²+y²=1内的概率为P=

S

S1

=

π

4

．
故答案为：

π

4

根据题意作出题中不等式表示的平面区域，得到如图所示由弧ABD与弧ACD围成的图形，利用积分计算公式算出它的面积S=4，再算出单位圆的面积，利用几何概型公式加以计算，即可得到P落在单位圆x²+y²=1内的概率．

本题考点：几何概型．

考点点评：本题通过求P点落在指定区域的概率，考查了函数图象的作法、定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．