题目

已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）．问：△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．

提问时间：2020-11-09

答案

答：相似．
证明：延长FE和CD交于P，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠EDP=90°，
∵E为AD中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DPE中，

∠A＝∠EDP AE＝DE ∠AEF＝∠PED

，
∴△AFE≌△DPE（ASA），
∴PE=EF，
∵EC⊥EF，
∴PC=FC，
∴∠PCE=∠FCE，
∵CE⊥EF，∠A=90°，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
即∠A=∠EDC，∠AFE=∠DEC，
∴△AFE∽△DEC，
∴∠AEF=∠DCE，
∵∠DCE=∠FCE，
∴∠AEF=∠ECF，
∵∠A=∠FEC=90°，
∴△AFE∽△EFC．

延长FE和CD交于P，求出等腰三角形PCF，推出∠PCE=∠FCE，根据△AFE∽△DEC推出∠AEF=∠PCE，推出∠A=∠FEC，∠AEF=∠ECF，根据相似三角形的判定推出即可．

本题考点：相似三角形的判定；矩形的性质．

考点点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质等知识点的综合运用．