题目

已知函数f（x）=mx³+nx²（m，n∈R，m＞n且m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）试确定m、n的符号；
（2）若函数y=f（x）在区间[n，m]上有最大值为m-n²，试求m的值．

提问时间：2020-11-09

答案

（I）由图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行，知f'（2）=0，∴n=-3m①又n＜m，故n＜0，m＞0．（II）令f′（x）=3mx2+2nx=3mx2-6mx=0，得x=0或x=2易证x=0是f（x）的极大值点，x=2是极小值点（如图）．令f（x）=f（0...

（1）先对函数f（x）进行求导，又根据f'（2）=0可得到m关于n的代数式．
（2）令f′（x）=3mx²+2nx=3mx²-6mx=0，得x=0或x=2，易证x=0是f（x）的极大值点，x=2是极小值点，
在讨论m的取值范围，根据[n，m]上的最大值，求出m的值．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件