题目

已知圆C;x方+y方-4x-14y+45=0及点Q(-2,3).
1.若点P(a,a+1)在圆C上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率
2.若M为圆C上任意一点,求|MQ|的最大值和最小值

提问时间：2020-11-09

答案

（1）把P(a,a+1)坐标代入 x²+y²-4x-14y+45=0……①得
a²+(a+1)²-4a-14(a+1)+45=0
解之,得a=4
则P坐标为(4,5)
线段PQ的长√[（4+2）²+（5-3）²] = 2√10
直线PQ的斜率为（5-3）/（4+2）=1/3
（2）x²+y²-4x-14y+45=0配方得（x-2）²+（y-7）²=8
圆心C坐标为（2,7）,半径为2√2
作直线CQ,交圆于A,B
直线CQ方程：(y-3)/(7-3)=(x+2)/(2+2),即y=x+3……②
①②联立解得A,B两点坐标分别为（3+√3,6+√3）（3-√3,6-√3）
AQ长为：√[（3+√3+2）²+（6+√3-3）²]=2 √（10+4√3）
BQ长为：√[（3-√3+2）²+（6-√3-3）²]=2 √（10-4√3）
故：所求最大值和最小值分别为2 √（10+4√3）与2 √（10-4√3）