题目

圆锥母线长为l,高为0.5l,则过圆锥顶点的最大截面的面积（不知道哪里错,
答案是3π/2.既然过了圆锥定点.切下去截面一定是个等腰三角形,且底应该为圆锥地面圆的直径.那么为什么等腰三角形的高不是0.5l呢?
5l^2 打错了

提问时间：2020-11-08

答案

这个轴面的面积不是最大.
无论怎么切,一定是个以圆锥顶点为顶点,腰长为母线长L的等腰三角形
S=(1／2)L²sinθ (θ为等腰三角形顶角)
又因为母线长L,高0.5L,可得轴截面三角形顶角为120°
所以θ得范围是[0,120]
则θ=90时S最大为(1／2)L²
还可以设这个等腰三角形的高AD为x,底边和底面圆心的距离OD,则OD^2=x^2-(1/2L)^2,
CD^2=OC^2-OD^2=L^2-(1/2L)^2-x^2+(1/2L)^2,=3/4L^2-x^2+(1/2L)^2,=-x^2+L^2
BC=2√(-x^2+L^2)
等腰三角形ABC的面积S=1/2*BC*AD=1/2*2[√(-x^2+L^2)]*x=√(-x^4+L^2x^2)]
=√[-(x^2-1/2L^2)^2+1/4L^4]
当x^2=1/2L^2,即x=√2/2L时,等腰三角形ABC的面积S取得最大值=√1/4L^4=L^2/2
此时,两母线刚好成直角,等腰三角形ABC是等腰直角三角形.