题目

已知二次函数f（x）=ax方+bx+c（a≠0）且满足f（-1）=0,对任意实数x恒有f（x）—x≥0,并且当x∈（0,2）

提问时间：2020-11-08

答案

（1）∵对于任意x∈R,都有f（x）-x≥0,且当x∈（0,2）时,
有f（x）≤(x+1 2 )2．令x=1
∴1≤f（1）≤(1+1 2 )2．
即f （1）=1．
（2）由a-b+c=0及f （1）=1．
有 a-b+c=0 a+b+c=1 ,可得b=a+c=1 2 ．
又对任意x,f（x）-x≥0,即ax2-1 2 x+c≥0．
∴a＞0且△≤0．
即1 4 -4ac≤0,解得ac≥1 16 ．
（3）由（2）可知a＞0,c＞0．
a+c≥2 ac ≥2• 1 16 =1 2 ．
当且仅当 a=c a+c=1 2 时等号成立．此时
a=c=1 4 ．
∴f （x）=1 4 x2+1 2 x+1 4 ,
F （x）=f （x）-mx=1 4 [x2+（2-4m）x+1]．
当x∈[-2,2]时,f （x）是单调的,所以F （x）的顶点一定在[-2,2]的外边．
∴|2-4m 2 |≥2．
解得m≤-1 2 或m≥3 2 ．点评：本题考查了二次函数的性质,函数的恒成立问题,以及不等式的证法,属于中档题．